Matemáticas. Bloque 1                                                                                                              1oG

Cesar Amezcua Rodriguez/ Maria Fernanda López Álvarez/ Carlos Kurth.

Tema 1

Numeros Reales: Los que existen

La significación de los números relativos o con signos (positivos y negativos) se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar el resultado de medir magnitudes relativas, es decir, magnitudes cuyas cantidades pueden tomarse en sentidos opuestos.

Convencionalmente fijamos los números positivo con el signo + y negativos con el signo -

Ejemplo:

Tenia 20 pesos. Pagué 15 pesos que debía, después cobré 40 pesos y luego hice gastos por 75 pesos. ¿Cuánto tengo?

Tema 2

Valor absoluto y relativo.

Valor absoluto de una cantidad es el numero que representa la cantidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad, y valor relativo es el sentido de la cantidad, representado por el signo.

Tema 3

Propiedades de la suma

La suma tiene cuatro propiedades. Las propiedades son conmutativa, asosiativa, distributiva y elemento neutro.

Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4

Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo (2+3) + 4= 2 + (3+4)

Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al número original. Por ejemplo 5 + 0 = 5.

Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tércer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3

Tema 4

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación es una suma de números iguales.

Los términos de la multiplicación son los factores y el resultado se llama producto.

La multiplicación tiene cuatro propiedades que harán más fácil la resolución de problemas. Estas son las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y distributiva.

Propiedad conmutativa: Cuando se multiplican dos números, el producto es el mismo sin importar el orden de los multiplicandos. Por ejemplo: 4 *2 = 2 *4

Propiedad asociativa: Cuando se multiplican tres o más números, el producto es el mismo sin importar como se agrupan los factores. Por ejemplo (2*3) *4 = 2 * (3 * 4)

Propiedad de elemento neutro: El producto de cualquier número por uno es el mismo número. Por ejemplo 5 * 1 = 5.

Propiedad distributiva. La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6 + 3) = 4 * 6 + 4 * 3

Tema 5

Propiedades de la división

La división es una operación matemática como la suma, la resta o la multiplicación. La división la podemos entender como la inversa a la multiplicación, es decir, lo contrario. Pensemos que para multiplicación tenemos dos números y obtenemos un resultado, y en la división es lo contrario, tenemos un resultado y buscamos los números que nos puedan dar ese resultado.

Un ejemplo muy claro es cuando tenemos 32 caramelos y los queremos repartir entre 9 amigos ¿como los repartimos? Este problema lo podemos resolver con una simple división. 

Repartiríamos 3 caramelos a cada uno y nos sobrarían 5.

1. División exacta

En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente.

D = d · c

División exacta          15 = 5 · 3

2. División entera

En una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

D = d · c + r

División entera            17 = 5 · 3 + 2

3. No es una operación interna en los números naturales y enteros:

El resultado de dividir dos números naturales o enteros no siempre es otro número natural o entero.

2 : 6 No perteneceConjunto de los números naturales

4. No es Conmutativa:

a : b ≠ b : a

6 : 2 ≠ 2 : 6

5. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0

6. No se puede dividir por 0.

Porque no existe ningún cociente que multiplicado por 0 sea igual al dividendo.

Tema 6

Potencias

La potencia de un número muestra cuántas veces se usa el número en una multiplicación.

Se escribe como un número pequeño a la derecha y arriba del número base.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

(Otros nombres para potencia son índice o exponente)

Ley	Ejemplo
x1 = x	61 = 6
x0 = 1	70 = 1
x-1 = 1/x	4-1 = 1/4
xmxn = xm+n	x2x3 = x2+3 = x5
xm/xn = xm-n	x4/x2 = x4-2 = x2
(xm)n = xmn	(x2)3 = x2×3 = x6
(xy)n = xnyn	(xy)3 = x3y3
(x/y)n = xn/yn	(x/y)2 = x2 / y2
x-n = 1/xn	x-3 = 1/x3

La ley que dice que xmxn = xm+n

En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5

Así que x2x3 = x(2+3) = x5

La ley que dice que xm/xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x0=1 :

Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1

La ley que dice que (xm)n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

Así que (x3)4 = x3×4 = x12

Tema 7

Fracciones

Una fracción es una parte de un total

Corta una pizza en trozos, y tendrás fracciones:

1/2	1/4	3/8
(Una mitad)	(Un cuarto)	(Tres octavos)
El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de abajo te dice en cuántos trozos se ha cortado la pizza.

Numerador / Denominador

Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes.Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total.

Numerador

Denominador

Una fracción se llama propia si su numerador es menor que su denominador.
Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador. Se puede expresar como un número mixto formado por un número natural más una fracción propia.

Tema 8

Porcentajes

El porcentaje nos dice qué parte de un total representa una cantidad. Y lo hace representando el total por el valor 100 y calculando de esos 100 cuanto correspondería a la cantidad que estamos analizando.

Por ejemplo:

Si hay 10 coches aparcados y 3 son de colo amarillo, ¿Qué porcentaje (que parte del total) representan estos 3 coches?

Tema 9

Lenguaje algebraico

Es cuando se representa una cantidad desconocida con una letra

Tal numero desconocido es igual a "X".

Se pueden usar cualquier letra para representar tal cantidad desconocida.



Tema 10

Proporciones


Una proporción es una igualdad  entre dos razones , y aparece frecuentemente en notación fraccionaria.

Por ejemplo: 


 2   =  6 
 5      15

Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo:

2   = 6    
5     15

2 · 15  =   6 · 5


30 = 30 

 Propiedades Fundamentales de las proporciones

A) Teorema Fundamental

En toda Proporción se cumple que el producto de Medios es igual al producto de Extremos.

B) Otras Propiedades
Si , entonces:

a) Alternar Extremos: 

b) Alternar Medios: 

c) Permutar:

d) Invertir:

e) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente:

f) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente:

g) Componer y descomponer a la vez:

h) Serie de Razones:

Tema 11

Sucesiones aritméticas 

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales: {1, 2, 3, …}. Una sucesión aritmética es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es an + b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anterior.

Si sumamos n términos de la sucesión con término general an + b obtendremos el valor:

EJEMPLO A:

Notemos la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…

La diferencia entre cualquier término y el anterior es  3, de modo que el término general sería 3n + b.

Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.

De esta forma, 3(1) + b = 8, y por lo tanto b = 5.

Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 3n + 5.

Tema 12

Sucesiones y Series

Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.




Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita


Series
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.

Sucesión: {1,2,3,4}

Serie: 1+2+3+4 = 10

Tema 13

Sucesiones y series geométricas.

Suma de una serie geométrica, es decir, una serie a₁ + a₂ + a₃ + ... en la que los términos forman una secuencia geométrica.La suma de los primeros n términos se puede obtener de la siguiente manera:

Sn	= a1 + a2 + a3 + ...an
	= a1 + a1r + a1r2 + ... + a1rn-1
	= a1 (rn - 1)/(r - 1)

en la que r es la relación común.

Definición: (Sucesión Geométrica)
Una sucesión geométrica es aquélla en la cual el cociente entre dos términos consecutivos es una constante llamada razón r y puede ser positiva o negativa.
Por ejemplo:
Sea la sucesión 5, 15, 45, 135, 405, 1215, ... es geométrica porque cada término es multiplicado por la misma contante, que es 3.

Sea la sucesión 3, 9, 27, 81, 243, 729, ... es geométrica porque cada término es multiplicado por la misma contante, que es 3.

Sea la sucesión -2, 4, -8, 16, -32, 64, ... es geométrica porque cada término es multiplicado por la misma contante, que es -2.

Tema 14
Series y succiones aritméticas
las series aritméticas son aquellas que tienen una misma razón : por ejemplo:
2;8;14;20;26,32,38,44,.....
formulas:( tomando en cuenta el ejemplo d arriba)

1) para encontrar el valor de un termino:

Tn= T1 + R(Tn-1)
T8= 2 + 6(8 -1) = 44

Tn:TERMINO N
T1:TERMINO 1
R: LA RAZON (en este caso es 6)


y otra formula es para hallar la suma total:
(T1 + Tultimo)(Nº de términos)/ todo sobre 2

(2 + 44)(8)/2=188
Tema 15
Lenguaje algebraico
La principal función de lenguaje álgebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

También el lenguaje álgebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.

Lenguaje Álgebraico.

Para poder manejar el lenguaje álgebraico es necesario comprender lo siguiente:

• Se usan todas las letras del alfabeto.
• Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi.
• Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión álgebraica.

Operaciones con Lenguaje Álgebraico

Aqui se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje álgebraico; cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa estrictamente en estas definiciones:

• un número cualquiera

se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:

a = un número cualquiera

b = un número cualquiera

c = un número cualquiera

... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto.

• la suma de dos números cualesquiera

a+b = la suma de dos números cualesquiera

x+y = la suma de dos números cualesquiera

• la resta de dos números cualesquiera

a-b = la resta de dos números cualesquiera

m-n = la resta de dos números cualesquiera

• la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera

a-b+c =la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera

• el producto de dos números cualesquiera

ab = el producto de dos números cualesquiera

• el cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números cualesquiera)

a/b= el cociente de dos números cualesquiera

• la semisuma de dos números cualesquiera

(a+b)/2= la semisuma de dos números cualesquiera

• el semiproducto de dos números cualesquiera

(ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera

Tema 16

Polinomios

Un polinomio es así:

un ejemplo de polinomio este tiene 3 términos

Están hechos de:

	constantes (como 3, -20, o ½)
	variables (como x e y)
	exponentes (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc

Que se pueden combinar usando:

+ - ×	sumas, restas y multiplicaciones...
	... ¡pero no divisiones!

Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!

¿Son polinomios o no?

Estos son polinomios:

• 3x
• x - 2
• 3xyz + 3xy²z - 0.1xz - 200y + 0.5

Y estos no son polinomios

• 2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido
• 3xy^-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,...)

Pero esto sí está permitido:

• x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5)
• también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)

Monomios, binomios, trinomios

Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:

¿Cómo te aprendes los nombres? ¡Piensa en bicicletas!

(También existen cuatrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan poco)

Muchos términos

Los polinomios pueden tener montones de términos, pero no infinitos términos.

¿Qué tienen de especial los polinomios?

Por su definición tan estricta, es fácil trabajar con polinomios.

Por ejemplo sabemos que:

• Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio
• Si multiplicas polinomios te sale un polinomio

Así que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con ellos, y siempre sale un polinomio al final.

Grado

El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.

Ejemplo:

El grado es 3 (el mayor exponente de x)

Tema 17

Propiedades de los exponentes

PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE POTENCIAS

Como simplifica 7² × 7⁶?

Si Usted recuerda la forma de como son definidos los exponentes, Usted sabe que esto significa:

(7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7)

Si elimina los paréntesis, tenemos el producto de ocho 7s, que puede ser escrito más simplemente como:

7⁸

Esto sugiere un atajo: todo lo que necesitamos hacer es sumar los exponentes!

7² × 7⁶ = 7^{(2 + 6)} = 7⁸

En general, para todos los números reales a, b, y c,

a^b × a^c = a^(b + c)

Para multiplicar dos potencias con la misma base, sume los exponentes.

Si Usted solo recuerda esta y olvida el resto, puede usarla para encontrar la mayoría de las otras propiedades.

---

EXPONENTES CERO

Muchos estudiantes que inician piensan que es raro que algo elevado a la potencia de cero es 1. ("Debe ser 0!") Puede usar la propiedad del producto de potencias para mostrar porque esto debe ser verdadero.

7⁰ × 7¹ = 7^{(0 + 1)} = 7¹

Sabemos que 7¹ = 7. Así, esto nos dice que 7⁰ × 7 = 7. Que número por 7 es igual a 7? Si decimos que 0, tenemos 0 × 7 = 7. No es verdadero.

En general, para todos los números reales a, a ≠ 0, tenemos:

a⁰ = 1

Dese cuenta que 0⁰ no está definido. 

---

EXPONENTES NEGATIVOS

Puede usar la propiedad del producto de potencias para encontrar esta también. Suponga que desea saber cuanto es 5^-2.

5^-2 × 5² = 5^{(-2 + 2)} = 5⁰

Sabemos que 5² = 25, y sabemos que 5⁰ = 1. Así, esto nos dice que 5^-2 × 25 = 1. Que número por 25 es igual a 1? Ese sería su inverso multiplicativo, 1/25.

En general, para todos los números reales a y b, donde a ≠ 0, tenemos:

---

PROPIEDAD DEL COCIENTE DE POTENCIAS

Cuando multiplica dos potencias con la misma base, Usted suma los exponentes. Así cuando divide dos potencias con la misma base, Usted resta los exponentes. En otras palabras, para todos los números reales a, b, y c, donde a ≠ 0,

Lo que realmente está haciendo es eliminar los factores comunes del numerador y del denominador. Ejemplo:

---

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN PRODUCTO

Cuando multiplica dos potencias con el mismo exponente, pero bases diferentes, las cosas se hacen un poco de forma distinta.

3² × 4² = (3 × 3) × (4 × 4)

Debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, podemos reescribir esto como

3² × 4² = (3 × 4) × (3 × 4) = 12²

En general, para todos los números reales a, b, y c (mientras que tanto a y c o tanto b y c no sean cero):

a^c × b^c = (ab)^c

Para encontrar la potencia de un producto, ya sea que encuentre la potencia de cada factor y luego multiplique o multiplique los factores y eleve a la potencia el producto.

---

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UN COCIENTE

Esta es bastante similar a la anterior. Por la eliminación de factores comunes, puede ver que:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Simplifique 

Para todos los números reales a, b, y c (siempre que b ≠ 0, y a y c ambas no sean 0):

---

PROPIEDAD DE POTENCIA DE UNA POTENCIA

La propiedad del producto de potencias puede ser desarrollada. Suponga que tiene un número elevado a una potencia, y multiplica la expresión completa por si misma una y otra vez. Esto es lo mismo que elevar la expresión a una potencia:

(5³)⁴ = (5³)(5³)(5³)(5³)

Pero la propiedad del producto de potencias nos dice que

(5³)(5³)(5³)(5³) = 5^{3 + 3 + 3 + 3} = 5⁴⁽³⁾ = 5¹²

Así es suficiente con solo multiplicar las potencias!

En general, para todos los números reales a, b, y c,

(a^b)^c = a^bc.

Para encontrar una potencia de una potencia, multiplique los exponentes.

---

EXPONENTES RACIONALES

Hemos cubierto los exponentes positivos, exponentes negativos, y los exponentes cero. Pero que pasa si tiene un exponente que no es un entero? Que pasa, por ejemplo, si 9^1/2?

Podemos volver a caer otra vez en la propiedad del producto de potencias para encontrar:

9^1/2 × 9^1/2 = 9^{(1/2 + 1/2)} = 9¹

Sabemos que 9¹ = 9, así 9^1/2 = .  Así, el exponente ½ trabaja como una raíz cuadrada. Similarmente, a^1/3 es equivalente a .

y en general

y .

---

Para recapitular:

Propiedad del exponente cero	a0 = 1, (a ≠ 0)
Propiedad del exponente negativo
Propiedad del producto de potencias
Propiedad del cociente de potencias
Propiedad de la potencia de un producto
Propiedad de la potencia de un cociente
Propiedad de la potencia de un a potencia	(ab)c = abc
Propiedad del exponente racional

Tema 18

Multiplicación de monomios y polinomios.

Objetivo:

• Explicar y ejemplificar cómo se efectúa la multiplicación algebraica de monomios y polinomios.

        Para llevar a cabo la multiplicación algebraica se deben aplicar 3 pasos.

        1. Se lleva a cabo la multiplicación de los signos, debes recordar que:

( + ) ( + ) = +

( - ) ( - ) = +

( - ) ( + ) = -

( + ) ( - ) = -

        2. Multiplicar los coeficientes.

        3. Se efectúa la multiplicación de literales; aquí se presentan casos:

        a) Cuando se tienen las mismas literales.

        En este caso se tiene que poner a cada una de las literales un exponente igual a la suma de los exponentes de las letras iguales, ejemplo;

a² . a³ . a⁶ = a ²⁺³⁺⁶ = a"

x² y z³ . x y³ z² = x²⁺¹⁼³ . y¹⁺³⁼⁴. z³⁺²⁼⁵
= x³ y⁴ z⁵

b) Cuando los factores tienen literales diferentes; entonces se escriben las literales ordenándolas alfabéticamente. a,b,c,z...

a . b. z= abz

x²y . a . c² d²= ac² d² x² y

Ejemplos

1. (5x) (-4x²) = - 20 x³

2. (-3x²y)(xy²)(- 7ay) = + 21 ax³ y⁴

3. (3 x y)(- ab )(-5ab x³y²) = 15 a² b² x⁴ y³

Multiplicación de un monomio por un polinomio.

        Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio y se suman los resultados.

        Ejemplo:

1. (-2x) (5x² –3x + 4) =

        Multiplicando el monomio por cada término del polinomio.

(-2x) (5x²) = -10x³

(-2x) (-3x) = 6x²

(-2x) ( 4 ) = -8x

        Por lo tanto la solución de la multiplicación es:

(-2x) (5x²-3x+4) = -10x³ + 6x² -8x

2. (-5y) (-2x +3xy - 5y) =

10xy-15xy²+25y²

Multiplicación de polinomios.

        Para poder multiplicar un polinomio por otro.

        a) Se multiplican cada uno de los términos del primer polinomio por los términos del segundo.

        b) Al ir multiplicando se acomodan los términos semejantes en columnas.

        c) Se suman los coeficientes de cada columna dejando la misma parte literal.

        Ejemplos:

1.  (2 + 5) (3x – 4)=

2. (3x + 2) (2x² + 4x –3)

        (una forma de no equivocarse es llevar a cabo la multiplicación como con los números enteros).
Tema 19
Productos Notables

Productos notables

Binomio al cuadrado

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundomás el cuadrado segundo.

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²

(x + 3)² = x ² + 2 · x ·3 + 3 ² = x ² + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)² = a² − 2 · a · b + b²

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a² − b²

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)² − 5² = 4x² − 25

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(x + 3)³ = x ³ + 3 · x² · 3 + 3 · x· 3² + 3³ =

= x ³ + 9x² + 27x + 27

Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

(2x - 3)³ = (2x)³ - 3 · (2x)² ·3 + 3 · 2x· 3² - 3³ =

= 8x ³ - 36 x² + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x² − x + 1)² =

= (x²)² + (−x)² + 1² +2 · x² · (−x) + 2 x² · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x⁴ + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x =

= x⁴ − 2x³ + 3x² − 2x + 1

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)

8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

8x³ − 27 = (2x − 3) (4x² + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x² + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x² + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x² + 5x + 6

Cocientes notables

                           Tema 20

                   Ecuaciones Lineales

Ecuación: es una igualdad entre 2 expresiones algebraicas separadas por el signo "=" las cuales se denominan miembros de la igualdad.

Incógnitas: Las incógnitas son las literales (x, y, z) que intervienen en las expresiones algebraicas

que forman la ecuación.

Identidad: la identidad es toda igualdad que se verifica es decir que es valida para todos los valores del dominio de las incógnitas.

Ecuación condicional: Es toda ecuación que es valida solo para ciertos valores de las incógnitas

x+9= 12 solo si x= 3

Conjunto solución: es el conjunto de los valores numéricos que al ser sustituidos en el lugar de las incógnitas resultan en una identidad numérica es decir hacen valida la ecuación.

2 o mas ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución

2x-14=0 y 3x-21=0

Resolver una ecuación significa encontrar su conjunto solución, es decir encontrar los valores que satisfacen esa ecuación 

Para resolver las ecuaciones necesitamos algunas reglas como: conmutativa, asociativa, distributiva, neutrales, contrarios, recíprocos.

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa dice que resultado de una operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.

Propiedad conmutativa de la suma

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

Propiedad conmutativa de la multiplicación

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

2 · 5 = 5 · 2

10 = 10

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa dice que resultado de una operación, en la que interviene tres o más números, es independiente del agrupamiento de los números.

Propiedad asociativa de la suma

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8

10 = 10

Propiedad asociativa de la multiplicación

El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)

6 · 5 = 2 · 15

30 = 30

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma (o la resta) es aquella por la que de dos o más números de una suma (o resta), multiplicada por otro número, es igual a la suma (o resta) de la multiplicación de cada término de la suma (o la resta) por el número.

a · (b + c) = a · b + a · c

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10

16 = 16

a · (b - c) = a · b - a · c

2 · (5 − 3) = 2 · 5 − 2 · 3

2 · 2 = 10 − 6

4 = 4

Sacar factor común

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16

Elemento neutro

El elemento neutro de una operación es un número que operado con cualquier otro número no lo altera.

Elemento neutro de la suma

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

3 + 0 = 3

Elemento neutro de la multiplicación

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a · 1 = a

3 · 1 = 3

Contrarios: para todo numero real positivo hay un negativo

Recíprocos: es que multiplicando por otro nos da como resultado 1.

Tema 21

• ¿Qué son los métodos algebraicos de resolución de ecuaciones?

Son métodos que usamos para resolver sistemas de ecuaciones con dos o más variables,  de una manera muy sencilla. Como su nombre lo indica, el método usa como su principal herramienta, el álgebra, que 

ligada a un proceso de lógica matemática dio como resultado el método algebraico.

Usando métodos algebraicos como los métodos de resolución de problemas (sustitución, igualación y reducción) y sistemas de ecuaciones lineales 2*2 podemos solucionar los problemas.

• Métodos de resolución de problemas:

 A continuación vamos a ver tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción.

1. Sustitución: 

En este método lo primero que debemos hacer es despejar una incógnita  y sustituirla en la otra ecuación. Así, la ecuación reemplazada, que se queda con una sola incógnita, se resuelve, permitiéndonos averiguar esa incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene reemplazando el valor obtenido.

A hora te voy a mostrar un vídeo en el cual nos van a explicar la forma en la cual se solucionan ecuaciones con el método de sustitución.

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=3FHhPLVUt9o

aqui pueden ver como se resuelve

A continuación te voy a mostrar una gráfica y una tabla de valores, en las cuales mostramos los resultados hallados en el método de sustitución: 

Ecuaciones : 1.) -3x+y-18=0

                       2.) 2y+3x-24=0

Gráfica

El punto A nos muestra los valores encontrados usando el método de sustitución.

Tabla de valores de la recta b

Tabla de valores de la recta b

El punto de intersección entre las dos rectas ( a, b) es:( -1.33, 14.02)


2. Igualación :  Este método consiste en una pequeña variante del método de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones usando este método debemos despejar una incógnita o letra, la misma, en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes, obteniendo una ecuación de primer grado. Para resolver un sistema  por el método de igualación debemos :

1. Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.
2. Igualamos las expresiones ,obteniendo la 3 ecuación que tiene solo una incógnita.
3. Resolvemos las operaciones.
4. Sustituimos el valor hallado, en cualquiera de las dos (2) expresiones en las que estaría despejada la otra incógnita.
5.  Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y calculamos la segunda.

Si ves, resolver un sistema de ecuaciones usando este método es muy sencillo. Si no has entendido, a continuación te mostrare un vídeo en el que podemos observar el proceso de solución de ecuaciones por el método de igualación:

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=lTRANviJWEY

Ahora te mostrare unas tablas de valores de un sistema y una gráfica que  fueron halladas mediante el método de igualación.

Ecuaciones : 1.)7x-2y+10=0
                       2.) 3y-2x+12=0

Tabla de valores de la recta  a

Gráfica

El punto de intersección entre las rectas es A:(-3.18 , -6.12)

3.  Reducción: El último método analítico que vamos a aprender en esta sección para resolver sistemas de dos funciones con dos incógnitas o letras.  En este método preparamos las ecuaciones multiplicando una o ambas ecuaciones por cualquier numero para obtener un sistema equivalente  al inicial en el que los coeficientes de las variables (x,y) sean iguales pero con signo contrario. Después sumamos las ecuaciones del sistema y obtenemos una ecuación de primer grado con una sola incógnita.  Después , tienes dos opciones para hallar la segunda incógnita :  la primera es volver a aplicar el mismo método  aplicar el mismo método , o sino sustituir la incógnita hallada en cualquier ecuación del sistema y despejar la otra. 

Ahora te mostrare un vídeo en el que nos explican el método de sustitución ( con sus fases).

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=v6iKv3QXqNs

Ahora te mostrare una grafica y una tabla de valores en las que  aperece el punto de interseccion entre dos rectas (a,b).

Gráfica

La tabla de valor del punto de intersección B es :

Tabla de valores de la recta b

MÉTODOS DE SUMA Y RESTA

Método de eliminación por suma o resta Los siguientes pasos nos facilitan la aplicación del método:    a) Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante         apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las                incógnitas.    b) Por suma o resta se elimina una de las incógnitas.    e) Se resuelve la ecuación lineal resultante.    f) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para,     encontrar el valor de la otra incógnita. Si las ecuaciones del sistema tienen alguna de las incógnitas de igual coeficientes el paso  primero se omite. EJEMPLO: 1. Resolver el sistema   (1)  4x + 6y = -3 (2)  5x + 7y = -2 Multiplicar los miembros de la ecuación (1) por 5 y los de la ecuación (2) por -4; resultando que los coeficientes de "x" se igualan y son de signo contrario.      5(4x + 6y = -3)                      20x + 30y = - 15 -4(5x + 7y = -2)                    -20x - 28y = 8 Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta:   20x + 30y = - 15 - 20x - 28y =    8   0      2y =   - 7     Resolviendo la ecuación, tenemos:   y = - 7/2 Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene:  (1)      4x + 6(-7/2) = - 3            4x - 21 = - 3      4x = - 3 + 21     x = 18 / 4  x = 9/2        (2)     5(9/2) + 7(-7/2) = - 2              45/2 - 49/2 = - -4/2 = -2 -2 = -2                Su comprobación es: 4(9/2) + 6(-7/2) = - 3                 18-21 = -3                       -3 = -3 Por lo tanto los valores que satisfacen al sistema son:  x = 9/2   y      y = -7/2 Método de solución (eliminación y por determinantes) e interpretación geométrica PROCEDIMIENTO Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución: 1.             Resuelve una de las ecuaciones para x o y. 2.            Sustituye la expresión resultante de la otra ecuación. (Ahora se tiene una ecuación con una variable). 3.            Resuelve la nueva ecuación para la variable. 4.            El valor de esa variable se sustituye en una de las ecuaciones originales y se resuelve esta ecuación para obtener el valor de la segunda variable. 5.            La solución se comprueba sustituyendo los valores numéricos de las variables en ambas ecuaciones Ejemplo 1 Resuelve:  Solución  Utilicemos el procedimiento de los cinco pasos: 1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y. Resolveremos aquí la primera ecuación para y). y = 8 - x 2. En la ecuación 2x – 3y = -9; escribe 8 – x en lugar de la y.  2x – 3(8 – x) = -9 3. Resuelve la nueva ecuación para la variable:                       2x – 3(8 – x)   =  -9                        2x – 24 +3x   =  -9                   Simplificando                                5x – 24   = -9                   Combinando términos semejantes                                        5x   =  15                  Suma 24 a ambos lados                                          x   =  3                    Divide entre 5 4. Sustituye el valor de la variable x=3 en una de las ecuaciones originales. (aquí lo hacemos en la ecuación x + y = 8. Luego resuelve para la segunda variable 3+y=8 Nuestra solución es el par ordenado (3, 5) ya que y = 5. 5. Comprobamos; cuando x= 3 y y=5; x + y = 8 se convierte en 3 + 5 = 8 y 8=8. Lo cual es verdadero. Luego para la segunda ecuación, 2x – 3y = -9 se convierte en                               2(3) – 3(5)  =  -9                                      6 – 15  = -9                                             -9  = -9 Lo que también es cierto. De este modo nuestra solución (3,5) es correcta. Ejemplo 2 Solución de un sistema inconsistente. Resuelve el sistema  Solución   Utiliza el procedimiento de los cinco pasos 1. Resuelve la ecuación para una de las variables (resolveremos aquí la primera  ecuación para x)  x = 4 -2y 2. Sustituimos x = 4 -2y  en la segunda ecuación                                   2(4 –2y) = -4y +6                                       8 –4y = -4y +6               Simplificamos                                8 –4y +4y = -4y +4y +6        Suma 4y                                              8  =  6 3. No hay ecuación que resolver. El resultado 8 = 6, nunca es verdadero. Es una contradicción. Puesto que nuestro procedimiento es incorrecto, concluimos que el sistema dado no tiene solución; es inconsistente. 4. No necesitamos el paso 4 5. Comprueba; nota que si se divide la segunda ecuación entre 2, obtienes  x = -2y+3 o     x+2y=3, lo que contradice a la primera ecuación, x +2y = 4. Ejemplo 3 Solución de un sistema dependiente Resuelve el sistema  Solución. Como antes, utilizaremos el procedimiento de los cinco pasos. 1. Resuelve la primera ecuación para x obteniendo: x=4 –2y 2. Sustituye x=4 –2y  en 4y +2x= 8                            4y +2(4 –2y)  = 8                                4y +8 –4y  = 8            Simplifica                                              8  = 8 3. No hay ecuación que resolver. Observa que en este caso obtuvimos la proposición verdadera 8 = 8, sin importar cual valor se le asigne a x o a y. 4. No necesitamos el paso 4 debido a que las ecuaciones son dependientes; es decir tienen un número infinito de soluciones. 5. Comprueba; si hacemos x=0 en la ecuación x +2y= 4, obtenemos 2y = 4, o y = 2. De manera semejante, si hacemos x=0 en la ecuación 4y +2x = 8, obtenemos 4y=8, o y = 2, de modo que (0, 2) es una solución para ambas ecuaciones. También puede demostrarse que x=2, y y = 1 satisface ambas ecuaciones. Por lo tanto (2, 1)es otra solución, y así sucesivamente. Nótese que si se divide la segunda ecuación entre dos y se vuelve a acomodar, se obtiene x +2y= 4, la que resulta idéntica para la primera ecuación. De este modo cualquier solución de la primera ecuación también es la solución de la segunda ecuación; es decir la solución consiste en todos los puntos de la ecuación x +2y= 4. Ejemplo 4 Simplificación y solución de un sistema por sustitución. Resuelve la ecuación  Solución. La segunda ecuación tiene x y constantes en ambos lados, de modo que primero se simplifica sumando 4x  y restando 6 de ambos lados para obtener                      6 –3x +y +4x –6     = -4x +5 +4x – 6                                        x + y     = -1 Ahora tenemos el sistema equivalente:                                           -2x     = -y +2                                        x + y     = -1 Al resolver la segunda ecuación para x obtenemos x= -y –1. Al escribir –y –1 en lugar de x en -2x = -y +2                                           -2x     = -y +2                                    -2–y –1     = -y +2     Suma y, resta 2                                       2y +2     = -y +2     Divide entre 3                                            3y     = 0                                              y     = 0 Puesto que x= -y –1 y y = 0, tenemos que                                              x     = 0 – 1= -1 De este modo el sistema es consistente y su solución es (-1, 0). Esto se comprueba escribiendo –1 en lugar de x  y 0 en vez de y en las dos ecuaciones originales. Ejemplo 5 Solución de un sistema que incluye fracciones. Si un sistema tiene ecuaciones con fracciones, eliminamos las fracciones multiplicando cada lado por el MCD (mínimo común denominador), para luego resolver el sistema resultante, como se muestra a continuación. Resuelve la ecuación:  Solución. Multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por 4 y ambos lados de la segunda ecuación por 8 (el MCD de 4 y 8) para obtener   o de manera equivalente                           8x +y = -4   o de manera equivalente                         2x +3y  = 10 Al resolver la primera ecuación para y, obtenemos y=-8x-4. Ahora escribimos –8x-4 en lugar de y en 2x +3y = 10                           2x +3(–8x-4)     =   10                            2x –24x –12     =   10         Simplificamos                                         -22x     =   22         Dividimos entre –22                                              x     =    -1 Al escribir –1 en lugar de  x en 8x + y = -4, obtenemos 8(-1) +y = -4 o  y = 4. De esta manera el sistema es consistente y su solución es (-1, 4) Uso del Método de Determinantes para Resolver un Sistema de Ecuaciones. La disposición de cuatro números reales en un cuadrado, como Recibe el nombre de determinantes de segundo orden. (Es importante advertir que los números se ordenan entre rectas paralelas y no entre corchetes. Los corchetes tienen otro significado). El determinante anterior tiene dos renglones y dos columnas (los renglones son horizontales y las columnas, verticales). A cada número del determinante se le llama elemento del propio determinante. En general, podemos simbolizar un determinante de segundo orden de la manera siguiente: donde se usa una sola letra, con doble subíndice, para facilitar la generalización de los determinantes de orden superior. El primer número del subíndice indica el renglón en que está el elemento; y el segundo número, la columna. Así, a21 es el elemento situado en el segundo renglón y primera columna. Cada determinante de segundo orden representa un número real, dado por la siguiente formula: Valor  de un determinante 2 x 2 Si a, b,.c y d son números, el determinante de la matriz  es  El determinante de una matriz 2 x 2 es el número que se obtiene con el producto de los números de la diagonal principal. menos el producto de los números de la otra diagonal PROCEDIMIENTO Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de determinantes de segundo orden: Para resolver el sistema donde x y y son las incógnitas y a, b, c, d, r, s, son números reales. 1.             Consideramos el arreglo  que consta de los coeficientes de las variables. 2.            Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los números que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de los números que están en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si usamos símbolos             Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos señalados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos. 3.            Con la notación observamos que la solución del sistema es             Conviene observar, para recordar la solución, que el denominador de ambos se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los términos independientes. Ejemplo 1 Resuelve el sistema utilizando los determinantes. Solución  Calculamos primero el determinante del sistema. Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y divididos entre el determinante del sistema Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividimos entre el determinante del sistema.   Comprobación  Sustituimos los valores x=-8 y y=5 en las ecuaciones Primera ecuación:      5x +6y = 5(-8) +6(5) = -10 Segunda ecuación     2x +3y = 2(-8) +3(5) = -1 Ejemplo 2 Resuelve el sistema utilizando determinantes. Solución  Calculamos el determinante del sistema. Ahora calculemos el valor de w sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividiendo entre el determinante del sistema: para calcular el valor de z sustituimos los valores  de la segunda columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividiendo entre el determinante del sistema: Comprobación  Sustituimos los valores w= 6 y z= en las ecuaciones Primera ecuación:  Segunda ecuación: Valor de un determinante 3 x 3 Menor de a1 Menor de b1 Menor  de c1 Para encontrar el menor de a1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que a1: Para encontrar el menor de b1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que b1: Para encontrar el menor de c1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que c1: Ejemplo 2 Resuelve el determinante  Solución  Desarrollaremos el determinante a lo largo del primer renglón: Menor de 1 Menor de 3 Menor  de -2 Podemos evaluar un determinante 3 x 3 desarrollándolo a lo largo de cualquier renglón o columna. Para definir los signos entre los términos del desarrollo de un determinante 3 x 3, usamos el siguiente arreglo de signos: Arreglo de signos para un determinante 3 x 3 + - + - + - + - + Ejemplo 3 Resuelve el determinante desarrollándolo a lo largo de la columna intermedia Solución  Se trata del determinante del ejemplo 2. Para desarrollarlo a lo largo de la columna intermedia: Menor de 3 Menor de 1 Menor  de 2 Como ya esperábamos, obtenemos el mismo valor que en el ejemplo 2. Tema 22 Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la forma: . Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de  que cumplen con la expresión, si es que existen. Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle" (ya sea por que nos sonría la buena fortuna, o por aproximación). Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza Bruta"). Después, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero). Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real"). El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula General". Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones: Si  es menor que  los resultados de X serán dos valores con parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo. Si  es mayor que  obtendremos dos valores distintos de X reales. Y si  es igual que  obtendremos dos valores de X reales e iguales. Al término  se le llama discriminante. tomando en cuenta el orden de los terminos: "a","b"y"c"=x²-6x+9